Floating Point (부동소수점) 기본 

  • 정수가 아닌 매우 작거나 큰 수 표현용 형식.
  • 과학적 표기법 과 유사 (예: –2.34 × 10⁵⁶).
  • 이진 정규화 표기: ±1.xxxxxx₂ × 2ʸʸʸʸ
    • 항상 1로 시작하는 정규화된 형태 (normalized).
  • C 언어의 float (32비트) / double (64비트)이 이 형식 사용.

🔸 10진에서는 정규화 수가 1~9로 시작하지만,
2진에서는 0과 1뿐이므로 항상 fraction 앞에 1이 온다.

IEEE Floating-Point Standard

  • IEEE 754 (1985) : 전기전자기술자협회(IEEE) 정의.
  • 과거 서로 다른 표현 방식 → 호환성 문제 → 통일된 표준 필요.
  • 현재 모든 과학/공학 계산에 사실상 전 세계적 표준.
  • 두 형식 제공:
    • Single Precision (32 bit)
    • Double Precision (64 bit)

IEEE 754 Encoding 

IEEE Floating-Point Format 세부 구조


필드 의미 비트수(single/double)
S 부호 (0 양수, 1 음수) 1
Exponent 지수 = actual exponent + bias 8 / 11
Fraction 유효숫자 부분 (significand) 23 / 52
  • Significand(=Fraction + 숨은 비트 1) 은 항상 1.0 ≤ |값| < 2.0 의 정규화 형태.
  • 지수는 음수를 표현하기 위해 bias 사용.
    • Single : Bias = 127
    • Double : Bias = 1023

Single Precision 범위

  • Exponent = 8비트, Fraction = 23비트.
  • 00000000 과 11111111 은 특수 값 예약.

항목 Exponent 실제 지수  Approx 값 
최소 정규화 값 00000001 1 – 127 = –126 ±1.0 × 2⁻¹²⁶ ≈ ±1.2×10⁻³⁸
최대 정규화 값 11111110 254 – 127 = +127 ±2.0 × 2¹²⁷ ≈ ±3.4×10³⁸
  • Exponent = 0 또는 255는 특수 케이스(0, NaN, ∞ 등).

Underflow vs Overflow 

  • Overflow: 결과가 표현 가능한 최대값 초과.
  • Underflow: 너무 작은 값이라 표현 불가.
    • 지수가 너무 음수가 되어 필드 범위 벗어남.
  • → 해결책: 지수 필드 비트를 늘리면 범위 확장.

Double Precision 범위 


항목 Exponent 실제 지수 Approx 값
최소 정규화 값 00000000001 1 – 1023 = –1022 ±1.0 × 2⁻¹⁰²² ≈ ±2.2×10⁻³⁰⁸
최대 정규화 값 11111111110 2046 – 1023 = +1023 ±2.0 × 2¹⁰²³ ≈ ±1.8×10³⁰⁸
  • Exponent = 0 또는 2047은 특수 값 (0, NaN, ∞).

Floating-Point Precision (정밀도) 

  • Relative precision = fraction 비트 수가 결정.
    | 형식 | Fraction 비트 | 정밀도 (≈2⁻ⁿ) | 10진 자리 |
    | Single | 23 | ≈ 2⁻²³ | ≈ 6 자리 |
    | Double | 52 | ≈ 2⁻⁵² | ≈ 16 자리 |

즉, float는 약 6자리, double은 약 16자리의 유효 10진 정밀도를 가짐.

더보기

Fraction은 실제 값의 소수 부분을 나타낸다
Significand는 항상 1 + Fraction 형태이며,
이 부분이 수의 정밀도(precision) 를 결정한다.

  • n = fraction 비트 수
  • float: n = 23
  • double: n = 52
  • 실제 유효비트: n + 1 (숨은 1 포함)

인접한 두 부동소수점 수의 차이

정규화된 수의 인접한 두 값은 fraction이 1 LSB(=2⁻ⁿ)만큼 다르다

따라서 두 수의 차이:

여기서 E, n의 의미


기호 의미 역할
E 실제 지수 (Exponent - Bias) 수의 전체 크기(스케일)를 결정
n Fraction 비트 수 정밀도(간격의 세밀함)를 결정
Δx = 2^{E−n} 인접한 두 수의 거리 E가 크면 간격 커지고, n이 많으면 간격 작아짐

즉,

  • E ↑ → 값이 커질수록 표현 간격도 커짐 → 정밀도↓
  • n ↑ → fraction 비트 많을수록 간격 줄어듦 → 정밀도↑

상대 오차 (Relative Error)

정규화된 수의 상대 오차는 다음과 같다:

즉,

따라서 상대 오차 ≈ 2⁻ⁿ
이게 바로 “부동소수점 정밀도(precision)”의 수학적 정의이다.

float vs double 비교

 

형식 n(fraction 비트) 상대 오차 ≈ 2⁻ⁿ 실제 값 10진 정밀도 (≈ n × log₁₀2)
float (32bit) 23 1.19×10⁻⁷ 1 + 1.1920929×10⁻⁷ ≈ 7.22자리 (보장 6자리)
double (64bit) 52 2.22×10⁻¹⁶ 1 + 2.2204460×10⁻¹⁶ ≈ 15.95자리 (보장 15자리)

즉,

  • float는 약 10⁻⁷ 수준의 상대 오차
  • double은 약 10⁻¹⁶ 수준의 상대 오차

왜 “6자리 / 16자리”라고 하는가?

이론적으로는 log₁₀(2)×(n+1)자리 정밀도지만,
모든 수를 정확히 10진으로 변환할 수 없기 때문에
항상 보장되는 유효 자릿수는 약간 낮게 잡는다. 


float 약 7.22자리 약 6자리
double 약 15.95자리 약 15자리

즉,

“float는 6자리, double은 16자리 정밀도”란
항상 신뢰할 수 있는 10진 유효자릿수(significant digits) 를 뜻합니다.

Precision vs Accuracy (정밀도 vs 정확도)

구분영어한국어의미
Precision 정밀도 인접 수 간격이 얼마나 세밀한가 (비트 수로 결정)  
Accuracy 정확도 계산 결과가 실제 참값에 얼마나 가까운가  

 

IEEE 754에서 “single-precision”, “double-precision”은
모두 정밀도(Precision) 를 뜻함.
정확도(Accuracy)와는 별개 개념.

example - 10진수 실수 -> 부동소수점 2진 표현 

 

부동 소수점 2진 표현 -> 10진수 실수

 

Denormal Numbers

Denormal Numbers
→ exponent = 0일 때 hidden bit이 0으로 바뀌며
실제 지수는 1−Bias로 고정되어
정규화 수보다 더 작은 수를 표현하고,
underflow를 부드럽게 처리한다.

Infinities & NaN
→ exponent = all 1s인 경우
fraction이 0이면 ±∞,
fraction이 0이 아니면 NaN (정의되지 않은 결과)로 처리한다

 

Floating Point Addition 

 

기본적으로 Floating point의 덧셈 절차는 다음과 같다

① 정렬 (Align) 지수가 작은 수의 가수(mantissa) 를 오른쪽으로 shift → 두 수의 지수를 같게 맞춤  
② 덧셈/뺄셈 (Add/Sub) 부호가 같으면 덧셈, 다르면 뺄셈 수행  
③ 정규화 (Normalize) 결과가 1.xxxx 형태가 되도록 조정 → 필요 시 지수 ±1  
④ 반올림 (Round) 23비트(또는 52비트)까지만 유지 → “Round to nearest even” 규칙 사용  
⑤ 예외 처리 (Exception) Overflow → ∞, Underflow → 0 또는 Denormal 처리  

 

먼저, 10진수의 예시이다. 

다음 2진수의 예시이다. 

 

 

Floating Point Multiplication , division

다음은 부동소수점의 곱셈이다. 

단계 이름 핵심 내용

① 부호 결정 (Sign) (S = S_1 ⊕ S_2) (XOR 연산)  
② 지수 계산 (Exponent) (E = (E_1 + E_2) - Bias)  
③ 가수 곱셈 (Mantissa) ((1 + F_1) × (1 + F_2)) — 결과는 약 2~4비트 늘어남  
④ 정규화 (Normalization) 결과가 1.x 형태가 아니면 이동 후 지수 ±1  
⑤ 반올림 & 예외 처리 23비트 초과 부분 반올림, Overflow/Underflow 확인  

 

10진수 floating point 예시 

2진수 floating point 예시

division도 multiplication과 비슷하게 부호(sign), 지수(exponent), 가수(significand)를 나눠서 계산한다. 

단계 이름 핵심 내용

① 부호 결정 (Sign) (S = S_1 ⊕ S_2) (XOR)  
② 지수 계산 (Exponent) (E = (E_1 - E_2) + Bias)  
③ 가수 나눗셈 (Mantissa) ((1 + F_1) ÷ (1 + F_2)) 수행  
④ 정규화 (Normalization) 결과를 1.x 형태로 맞추고 지수 ±1 조정  
⑤ 반올림 및 예외 처리 23비트만 유지, Overflow/Underflow/NaN 확인  

 

FP Instructions in LEGv8

레지스터

  • 32개의 단정밀도 레지스터: S0 ~ S31
  • 32개의 배정밀도 레지스터: D0 ~ D31
  • Sn은 Dn의 하위 32비트를 사용
  • FP 연산은 FP 레지스터끼리만 가능 (정수 연산과 혼용 불가)

 연산 명령어


단정밀도 (Single) FADDS, FSUBS, FMULS, FDIVS 32비트 float 연산
배정밀도 (Double) FADDD, FSUBD, FMULD, FDIVD 64비트 double 연산
비교 연산 FCMPS, FCMPD FP 비교 및 조건 코드 설정
분기 B.cond 비교 결과에 따라 분기
로드/스토어 LDURS, LDURD, STURS, STURD FP 레지스터 ↔ 메모리

예시:

 
FADDS S2, S4, S6   // S2 = S4 + S6
FADDD D2, D4, D6   // D2 = D4 + D6

예시 — °F → °C 변환

C 코드:

float f2c(float fahr) {
    return ((5.0/9.0) * (fahr - 32.0));
}

LEGv8 어셈블리

 
f2c:
  LDURS S16, [X27,const5]     // S16 = 5.0
  LDURS S18, [X27,const9]     // S18 = 9.0
  FDIVS S16, S16, S18         // S16 = 5.0 / 9.0
  LDURS S18, [X27,const32]    // S18 = 32.0
  FSUBS S18, S12, S18         // S18 = fahr - 32.0
  FMULS S0, S16, S18          // S0 = (5/9) * (fahr - 32.0)
  BR LR                       // return

💡 X27은 정수 레지스터로 메모리 주소를 가리킴,
S16, S18, S0은 FP 레지스터로 실수 계산 수행.

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